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高中数学教材“推广型”内容的教学策略

 数学推广是指在一定范围内或一定层次上对数学概念、定理、法则进行拓展,使之在更大范围或更高层次上成立,它是数学研究不可或缺的基本方法1。在高中数学教材中,设置了大量的“推广型”教学内容,如将°~36°角推广到任意角,将锐角三角函数推广到任意角的三角函数,将勾股定理推广到余弦定理,将平面几何中的向量方法推广到立体几何中的向量方法,等等。教师如能结合这些内容的教学,让学生经历推广的过程,体验数学在结构上的和谐性,并尝试通过类比、归纳、化归等思想方法解决在推广过程中遇到的困难和问题,必然对培养学生的创新思维具有重意义。 
  一、“推广型”内容教学时需解决的问题 
  1.推广的必性 
  解决推广的必性问题,即解决“为什么需推广?”这一问题。教学中应从学生已有的认知水平出发,结合数学发展的现实基础和逻辑基础,让学生深刻领悟到进行推广的必。例如,在引入大于36°的角和负角时,可以举些学生熟悉的生活中大于36°的角和负角,如体操中的转体、跳水中的翻腾、钟表中的指针、自行车的轮子、螺丝扳手与曲柄连杆等按不同方向旋转时所成的角,用以说明建立新概念的必性和实际意义,这也有利于体验数学的人文价值,开阔学生的视野。 
  2.推广的方法性 
  解决推广的方法性问题,即解决“如何进行推广?”这一问题。从数学学习、研究过程来看,经常使用如下的逻辑思考方法 
  其中突出显示了联系的观点,通过类比、推广、特殊化、化归等思想方法,可以极大地促进学生的数学思考,使他们更有效地寻找出自己感兴趣的问题,从中获得研究方法的启示。例如,关于平面几何中的向量方法,我们可以有如下的“联系图” 
  3.推广的应用性 
  解决推广的应用性问题,即解决“推广后有什么用?”这一问题。在联系旧知推广得到新知的基础上,重视新知的应用,让推广的价值得到充分的展示。这种价值,不仅体现在新知对旧知的覆盖,更让学生感受到一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质。例如,将勾股定理推广到余弦定理以后,可以讲解这样的问题用余弦定理证明在△ABC中,当∠C为锐角时,a2+b2>c2;当∠C为钝角时,a2+b2
  案例3  类比正数、负数、零的概念,得出正角、负角、零角的概念 
  问题1  如何用数学的方法将按顺指针、逆时针两种不同的方向旋转的角加以区分?你以前有过类似的经验吗? 
  问题2  我们知道,正负数和可借助数轴有效地进行区分。那么,为了区分按顺指针、逆时针两种不同的方向旋转的角,你认为可以利用什么载体进行区分呢?如何给它们下一个合理的定义呢? 
  通过以上问题,利用类比的方法,由正数、负数、零的概念自然引出正角、负角、零角的概念,同时也让学生体验从低维问题向高维问题发展的一般方法。 
  (2)化归论证。一般化是数学推广的基本方式。数学家G·波利亚指出”一般化是从对象的一个给定集合进而考虑到包含这个集合的更大集合。”由下位公式向上位公式推广时常伴随着猜想,而对这种猜想进行论证,则常需将上位公式化归至下位公式。例如,我们在将勾股定理推广到余弦定理时,可按如下方式进行。 
  案例4  借助化归的思想论证余弦定理 
  问题1  前面学过的正弦定理的表达式是怎样的?它具有怎样的功能? 
  问题2  在我们所学知识中,有没有涉及已知三角形的两边及夹角,求第三边的情形呢?能否举一个具体的例子? 
  问题3在△ABC中,已知边a,b,∠C≠9°,是否还能用勾股定理求边c?(很自然的想法是构造直角三角形,以便用勾股定理进行计算。辅助线如下图,过程略。) 
  3.运用推广的结论方法,强化推广的应用性 
  旧知推广为新知以后,内涵发生了改变,伴随产生了一些新的性质。为了让学生巩固新知,体验数学的实用价值,我们应在推广之后,在概念的辨析、性质的应用等方面及时加以应用。 
  (1)概念辨析,厘清疑点。数学概念在得到推广以后,其内涵发生了改变,容易与原有的概念产生混淆。为了帮助学生区分新旧概念的区别,加深理解,我们可以通过概念辨析题的方式进行新知的应用。如,将角推广到任意角以后,伴随着产生了象限角、轴线角等概念。这些概念与原有的锐角等概念容易混淆,为此我们可通过如下判断题进行辨析。 
  案例5  角的概念推广后设置的概念辨析题 
  判断下列说法是否正确 
  ①锐角是第一象限角。(对) 
  ②第一象限的角都是锐角。(错) 
  ③小于9°的角都是锐角。(错) 
  ④第二象限的角一定比第一象限的角大。(错) 
  ⑤终边相同的角一定相等。(错) 
  ⑥终边相同的角有无数多个,它们相差36°的整数倍。(对) 
  (2)前后呼应,变式应用。在问题情境的创设过程中,常借助认知冲突,设置悬念,引发推广。在推广以后,及时解决原先的疑问,并适当深入,变式升。例如,前面为了将勾股定理推广到余弦定理,设计了这样的问题已知三角形的两边及夹角,如何求第三边呢?那么,我们可结合此问题的解决,设计例题及变式。 
  案例6  将勾股定理推广到余弦定理后设置的例题及变式 
  ①在△ABC中,已知边b=3,c=1,∠A=6°,求边a。 
  ②在△ABC中,已知边a=4,b=5,c=6,求∠A。 
  变式1在△ABC中,已知边a=4,b=5,c=6,判定在△ABC的形状。 
  变式2在△ABC中,已知边a∶b∶c=3∶4∶5,判定在△ABC的形状。 
  知识、能力与学习品质的升是学生发展的基本目标。通过“推广型”教学内容的教学,让学生充分认识推广的必性、方法行、应用性,在推广中进行再发现,学会探究,对学生良好数学素养的升具有较大的帮助。 
  参考文献 
  1 徐彦辉.数学推广及其常见形式举例分析J.数学通报,21(4). 
  2 孙世华.数学推广的基本模式J.数学通讯,25(1). 
  3 陶维林.任意角的三角函数的设计与反思J.中国数学教育,29(4).责任编辑  郭振玲